Cho tam thức bậc hai: $f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$, $\Delta =b^2-4ac$. Ta có: $f(x)\le 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ luôn âm hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng xuống ($a<0$) và đồ thị không cắt phía trên trục hoành, tức $\Delta \le 0$ (nếu $\Delta =0$, $f(x)=0$ tại đỉnh, vẫn thỏa $f(x)\le 0$). Chú ý $a\ne 0$ nên $a\le 0$ không đủ; $\Delta <0$ thì loại vì mất trường hợp $\Delta =0$. Vậy đáp án là $\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$.