Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2AC=3AD$. Gọi $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ABD$. Tính tỉ số $k=\frac{BC}{BD}$ khi $O{O}^{\prime }//(BCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $AB=6$, $AC=3$, $AD=2$, lấy $A$ làm gốc, $\vec{B},\vec{C},\vec{D}$ là các vectơ chỉ. Gọi $BC=x$, $BD=y$.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$: $O=\frac{CA\cdot B+AB\cdot C}{BC+CA+AB}=\frac{3\vec{B}+6\vec{C}}{x+9}$.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$: $O^{\prime }=\frac{AD\cdot B+AB\cdot D}{BD+AD+AB}=\frac{2\vec{B}+6\vec{D}}{y+8}$.
Điều kiện $O{O}^{\prime }\parallel (BCD)$ tương đương với $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}$, tức tổng các hệ số theo $\vec{B},\vec{C},\vec{D}$ bằng 0:
$$\left(\frac{2}{y+8}-\frac{3}{x+9}\right)-\frac{6}{x+9}+\frac{6}{y+8}=0\Rightarrow \frac{8}{y+8}=\frac{9}{x+9}.$$
Suy ra $8(x+9)=9(y+8)\Rightarrow 8x=9y\Rightarrow k=\frac{BC}{BD}=\frac{x}{y}=\frac{9}{8}$.