Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, ; . Gọi I là điểm trên cạnh AB sao cho AI = 3IB và J là trung điểm của . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ; và
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, ; . Gọi I là điểm trên cạnh AB sao cho AI = 3IB và J là trung điểm của . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ; và
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a/2; a√3/2; 0) (vì AB=AC=a, góc BAC=60°). Gọi D=(x;y;z) với AD=a, AD·AB=a²cos60°=a²/2 nên x=a/2; AD·AC=0 (góc CAD=90°) nên (a/2)(a/2)+(a√3/2)y=0 ⇒ y=−a/(2√3). Từ x²+y²+z²=a²: z²=a²−a²/4−a²/12=2a²/3 ⇒ z=a√(2/3). Vậy D=(a/2; −a/(2√3); a√(2/3)).
Vì AI=3IB nên I=(3a/4;0;0). J trung điểm CD: J=(a/2; a√3/6; a√(2/3)/2).
Suy ra IJ→=(−a/4; a√3/6; a√(2/3)/2), AB→=(a;0;0).
AB→·IJ→=−a²/4; |AB→|=a; |IJ→|=a√(1/16+1/12+1/6)=a√(15/48)=a√5/4.
cos(AB→, IJ→)=(−a²/4)/(a·a√5/4)=−1/√5=−√5/5.
Vậy góc giữa AB→ và IJ→ là arccos(−√5/5)≈116°34′ (≈116,57°).
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a/2; a√3/2; 0) (vì AB=AC=a, góc BAC=60°). Gọi D=(x;y;z) với AD=a, AD·AB=a²cos60°=a²/2 nên x=a/2; AD·AC=0 (góc CAD=90°) nên (a/2)(a/2)+(a√3/2)y=0 ⇒ y=−a/(2√3). Từ x²+y²+z²=a²: z²=a²−a²/4−a²/12=2a²/3 ⇒ z=a√(2/3). Vậy D=(a/2; −a/(2√3); a√(2/3)).
Vì AI=3IB nên I=(3a/4;0;0). J trung điểm CD: J=(a/2; a√3/6; a√(2/3)/2).
Suy ra IJ→=(−a/4; a√3/6; a√(2/3)/2), AB→=(a;0;0).
AB→·IJ→=−a²/4; |AB→|=a; |IJ→|=a√(1/16+1/12+1/6)=a√(15/48)=a√5/4.
cos(AB→, IJ→)=(−a²/4)/(a·a√5/4)=−1/√5=−√5/5.
Vậy góc giữa AB→ và IJ→ là arccos(−√5/5)≈116°34′ (≈116,57°).