Cho tứ diện $ABCD$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ và $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM=2MC$. Chứng minh đường thẳng $MG$ song song với mặt phẳng $(ACD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là trung điểm của $AD$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G$ thuộc trung tuyến $BK$, do đó $\overrightarrow{KG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{KB}$ (tính chất trọng tâm: $KG=\frac{1}{3}KB$). Ta có $\overrightarrow{GB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}$.

Vì $M$ thuộc $BC$ với $BM=2MC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{MB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

Xét: $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{CK}$.

Vậy $\overrightarrow{MG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CK}$, tức $MG\parallel CK$.

Mà $K$ là trung điểm $AD$ nên $K\in (ACD)$, và $C\in (ACD)$, do đó đường thẳng $CK\subset (ACD)$. Lại có $M\notin (ACD)$ (vì $M$ thuộc cạnh $BC$ của tứ diện, $M\ne C$).

Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: đường thẳng $MG$ song song với đường thẳng $CK$ nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ và $MG\not\subset (ACD)$, nên $MG\parallel (ACD)$. $■$