Cho tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{SB}\right)$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $M$ là gốc, $B=\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $C=\left(-\frac{a}{2};0;0\right)$, $A=\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$ (tam giác $ABC$ đều cạnh $a$). Chiều cao tứ diện $h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$, nên $S=\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{6};a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $\overrightarrow{SB}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{6};-a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SB}=0+\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}+0=\frac{a^2}{4}$.
Độ dài: $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung tuyến tam giác đều), $|\overrightarrow{SB}|=a$.
Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{SB}\right)=\frac{a^2/4}{a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\approx 0,29$.