Cho tứ diện $OABC$ có $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=60^{\circ }$, $\widehat{AOC}=90^{\circ }$, $OA=OB=OC=1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $OA$. Giá trị lượng giác côsin của góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{OC}$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ đơn vị $\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{1}{2}$, $\vec{a}\cdot \vec{c}=\cos 90^{\circ }=0$.

Vì $M$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$; $N$ là trung điểm $OA$: $\overrightarrow{ON}=\frac{\vec{a}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}}{2}$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\vec{a}\cdot \vec{c}-\vec{b}\cdot \vec{c}-\vec{c}\cdot \vec{c})=\frac{1}{2}\left(0-\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{3}{4}$.

Độ dài: $|\overrightarrow{MN}{|}^2=\frac{1}{4}\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{a}\cdot \vec{c}+2\vec{b}\cdot \vec{c}\right)=\frac{1}{4}(3-1-0+1)=\frac{3}{4}$, nên $|\overrightarrow{MN}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $|\overrightarrow{OC}|=1$.

Vậy $\cos \left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{OC}\right)=\frac{-3/4}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Khớp đáp án nguồn C (trang 7).