Trong không gian cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng 2. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $I$ là trung điểm của $B{C}^{\prime }$. Thể tích của tứ diện $GI{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(1;\sqrt{3};0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B^{\prime }(2;0;2)$, $C^{\prime }(1;\sqrt{3};2)$ (lăng trụ đều cạnh 2, chiều cao 2).

Trọng tâm $G$ của tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $G=\left(1;\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{3}\right)$.

Trung điểm $I$ của $B{C}^{\prime }$: $I=\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)$.

Thể tích tứ diện $GI{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{B^{\prime }G},\overrightarrow{B^{\prime }I},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right]\right|$ với:
$\overrightarrow{B^{\prime }G}=\left(-1;\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{2}{3}\right)$, $\overrightarrow{B^{\prime }I}=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};-1\right)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(-1;\sqrt{3};0)$.

Tích hỗn hợp: $\det =\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (tính theo khai triển cột thứ ba, hai thành phần khác 0 chỉ còn $(-1)\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$ sau khi thành phần thứ nhất triệt tiêu).

Vậy $V_{GI{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{9}$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.