Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4(x+y)$ và $\frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2}$ với $a,b$ là hai số nguyên dương. Tổng $a+b$ bằng

Đặt ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4(x+y)=t$.
Khi đó $x=9^t,y=6^t$ và $x+y=4^t$.
Ta có $9^t+6^t=4^t$.
Chia cả hai vế cho $4^t$:
${\left(\frac{9}{4}\right)}^t+{\left(\frac{6}{4}\right)}^t=1⟺{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2t}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^t-1=0$.
Đặt $u={\left(\frac{3}{2}\right)}^t=\frac{9^t}{6^t}=\frac{x}{y}$ ($u>0$).
Phương trình trở thành $u^2+u-1=0$.
Vì $u>0$ nên $u=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
Đối chiếu với giả thiết $\frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2}$ với $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$, ta có $a=1$ và $b=5$.
Vậy tổng $a+b=1+5=6$.