Cho $\widehat{xOy}=60^{\circ }$. Khi $A,B$ là 2 điểm di động lần lượt trên tia $Ox,Oy$ sao cho $AB=4(A,B$ không trùng $O)$ độ dài lớn nhất của $OB$ bằng $\frac{a\sqrt{b}}{b}$ với $a,b$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tính tích $a.b$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác OAB với góc xOy = 60°: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-OA\cdot OB$. Đặt $OA=x>0$, $OB=y>0$, với $AB=4$ ta có $16=x^2+y^2-xy$, tức $x^2-yx+(y^2-16)=0$. Đây là phương trình ẩn $x$ phải có nghiệm dương nên điều kiện cần: $\Delta =y^2-4(y^2-16)\ge 0\iff 64-3y^2\ge 0\iff y\le \frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Khi $y=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ thì $x=\frac{y}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}>0$ thỏa mãn, nên độ dài lớn nhất của $OB$ là $\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Vậy $a=8$, $b=3$ (nguyên tố cùng nhau), $a.b=24$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1245, Câu 1 Phần III: 24).