Có 10 cái hộp khác nhau được đánh số từ 1 đến 10 và 10 viên bi giống nhau. Gọi $T$ là số cách sắp xếp 10 viên bi vào 10 hộp (mỗi hộp không nhất thiết có bi) sao cho tổng số viên bi trong các hộp số 1, 2, 3 là số chẵn, còn tổng các viên bi trong các hộp 8, 9, 10 là số lẻ. Giá trị của $\frac{T}{100}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi nhóm A = các hộp 1,2,3 (tổng chẵn), nhóm B = các hộp 8,9,10 (tổng lẻ), nhóm giữa = các hộp 4,5,6,7. Vì tổng số bi là 10 (chẵn) nên tổng bi nhóm giữa = 10 − chẵn − lẻ = lẻ.

Dùng hàm sinh. Với nhóm 3 hộp có tổng chẵn: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^3}+\frac{1}{(1+x{)}^3}\right)$; tổng lẻ: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^3}-\frac{1}{(1+x{)}^3}\right)$. Tích hai nhóm này: $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(1-x{)}^6}-\frac{1}{(1+x{)}^6}\right)$. Nhóm 4 hộp giữa tổng lẻ: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1-x{)}^4}-\frac{1}{(1+x{)}^4}\right)$.

Vậy $T$ là hệ số của $x^{10}$ trong:
$$\frac{1}{8}\left[\frac{1}{(1-x{)}^{10}}-\frac{1}{(1-x{)}^6(1+x{)}^4}-\frac{1}{(1-x{)}^4(1+x{)}^6}+\frac{1}{(1+x{)}^{10}}\right].$$

Tính từng hệ số của $x^{10}$:
- $\frac{1}{(1-x{)}^{10}}$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{9}\right)=92378$; tương tự $\frac{1}{(1+x{)}^{10}}$ cũng cho $+92378$ (dấu $(-1{)}^{10}=+1$).
- $\frac{1}{(1-x{)}^4(1+x{)}^6}={\sum }_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+3}{3}\right)x^i{\sum }_j(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+5}{5})x^j$, với $i+j=10$:
$3003-8008+12870-15840+16170-14112+10584-6720+3465-1320+286=378$.
- $\frac{1}{(1-x{)}^6(1+x{)}^4}$: do đối xứng $i\leftrightarrow j$ (vì $(-1{)}^{10-i}=(-1{)}^i$) cũng bằng $378$.

Suy ra $T=\frac{1}{8}(92378-378-378+92378)=\frac{184000}{8}=23000$.

Kiểm tra chéo bằng trường hợp nhỏ (2 bi, 4 hộp, 1 hộp chẵn – 1 hộp lẻ – 2 hộp giữa lẻ) cho kết quả khớp đếm trực tiếp (2 cách), xác nhận công thức.

Vậy $\frac{T}{100}=\frac{23000}{100}=230$.