Có 5 bạn học sinh nam và 5 bạn học sinh nữ, trong đó có một bạn nữ tên Hoa và một bạn nam tên Bình. Xếp ngẫu nhiên 10 bạn đó vào một dãy 10 ghế sao cho mỗi ghế có đúng một bạn ngồi. Xác suất để không có hai học sinh nam nào ngồi kề nhau và bạn Hoa ngồi kề với bạn Bình là $P=\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức $a+b$ ?

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $10!=3628800$ cách xếp. Cách đếm: xét các mẫu giới tính có 5 nam, 5 nữ, không hai nam kề nhau: xếp 5 nữ trước, 5 nam vào 5 trong 6 khoảng giữa nên có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)=6$ mẫu vị trí. Với mỗi mẫu, số cặp (vị trí nữ, vị trí nam) kề nhau: nếu khoảng trống là khoảng đầu hoặc cuối (2 trường hợp) thì dãy bắt đầu một đầu bằng nam: $4\times 2+1=9$ cặp; nếu khoảng trống ở giữa (4 trường hợp) thì hai nam ở hai đầu và 3 nam ở giữa: $2+3\times 2=8$ cặp. Xác suất Hoa đứng tại một vị trí nữ cụ thể và Bình tại một vị trí nam cụ thể là $\frac{1}{5\cdot 5}=\frac{1}{25}$. Vậy $P=\frac{2\cdot 9+4\cdot 8}{6\cdot 25}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}$ (điều kiện không nam kề nhau), và xác suất đồng thời $P=\frac{1}{42}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{126}$ (vì $P$(không hai nam kề)$=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)5!5!}{10!}=\frac{1}{42}$). Kiểm tra trực tiếp: số xếp thỏa mãn $=50\cdot 4!\cdot 4!=28800$, $P=\frac{28800}{3628800}=\frac{1}{126}$. Vậy $a=1,b=126$, $a+b=127$, khớp đáp án nguồn.