Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_3(x^2+y^2+2x)+{\log }_2(x^2+y^2)\le {\log }_3(2x)+{\log }_2(x^2+y^2+48x)$?

Điều kiện: $x>0$. Bất phương trình tương đương ${\log }_3\left(1+\frac{x^2+y^2}{2x}\right)-{\log }_2\left(1+\frac{48x}{x^2+y^2}\right)\le 0$. Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{2x}>0$, bất phương trình trở thành ${\log }_3(1+t)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{t}\right)\le 0$. Hàm số $f(t)={\log }_3(1+t)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{t}\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $f(8)={\log }_{3}9-{\log }_{2}4=0$, nên $f(t)\le 0\iff 0<t\le 8\iff x^2+y^2-16x\le 0\iff (x-8{)}^2+y^2\le 64$. Với $x\in \{1,2,\dots ,16\}$, đếm số giá trị nguyên của $y$ ứng với từng $x$ được tổng cộng $196$ cặp số nguyên $(x;y)$.