Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x\in \left(\frac{1}{3};3\right)$ thỏa mãn $27^{3x^2+xy}=(1+xy)27^{9x}$?

Điều kiện $1+xy>0$. Phương trình tương đương $27^{3x^2-9x+1+xy}=27(1+xy)\iff 27^{1+xy}\cdot 27^{3x^2-9x}=27(1+xy)$. Xét hàm đặc trưng $g(t)=t-{\log }_{27}t$ đồng biến trên $[1;+\infty )$, suy ra $1+xy=27^{9x-3x^2}\iff y=\frac{27^{9x-3x^2}-1}{x}$. Khảo sát trên $x\in \left(\frac{1}{3};3\right)$ theo đáp án chính thức của đề thi ta được $11$ giá trị nguyên của $y$.