Cô Nga gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6\%/năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Nga không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau $y$ (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là $x$ (triệu đồng), cô Nga sử dụng công thức $y={\log }_{1,06}\left(\frac{x}{100}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau $y$ năm: $x=100\cdot 1,06^y$ (triệu đồng), tức $y={\log }_{1,06}\left(\frac{x}{100}\right)$ với $x>0$.

a) Vì $x=100\cdot 1,06^y$ tăng theo $y$, hàm $y={\log }_{1,06}\left(\frac{x}{100}\right)$ có cơ số $1,06>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. Đúng.

b) Cần $100\cdot 1,06^y\ge 200\iff y\ge {\log }_{1,06}2=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}\approx \frac{0,6931}{0,05827}\approx 11,90$. Vậy cần ít nhất 12 năm. Đúng.

c) Sau 5 năm gửi ngân hàng: $100\cdot 1,06^5\approx 133,82$ triệu, lợi nhuận $\approx 33,82$ triệu; dự án cho lợi nhuận $150-100=50$ triệu $>33,82$ triệu. Đúng.

d) Gọi $B_n$ là số dư sau khi rút 20 triệu ở năm thứ $n$: $B_1=100\cdot 1,06-20=86$; $B_{n+1}=1,06B_n-20$.
$B_2=86\cdot 1,06-20=71,16$; $B_3\approx 55,43$; $B_4\approx 38,76$; $B_5\approx 21,08$; $B_6\approx 2,35$.
Năm thứ 7: $2,35\cdot 1,06\approx 2,49<20$ nên không đủ đóng. Vậy tối đa đóng được 6 năm. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $1,06>1$ nên hàm $y={\log }_{1,06}(x/100)$ đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$; $x$ tăng theo $y$ vì $x=100\cdot 1,06^y$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$1,06^y\ge 2\iff y\ge {\log }_{1,06}2\approx 11,90$, nên cần ít nhất 12 năm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ngân hàng sau 5 năm: $100\cdot 1,06^5\approx 133,82$ triệu (lãi $\approx 33,82$ triệu) < lợi nhuận 50 triệu của dự án.
d) (AI giải đề cho tôi)
Truy hồi $B_{n+1}=1,06B_n-20$, $B_1=86$: $B_2=71,16$, $B_3\approx 55,43$, $B_4\approx 38,76$, $B_5\approx 21,08$, $B_6\approx 2,35$; năm thứ 7 chỉ còn $\approx 2,49<20$ triệu nên tối đa đóng được 6 năm.