Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x)=(m-1)x^3+\frac{3}{2}(m-1)x^2-3x+1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Chọn D.
Ta có $f^{\prime }(x)=3(m-1)x^2+3(m-1)x-3$.
- Với $m=1$, ta có $f^{\prime }(x)=-3<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (thỏa mãn).
- Với $m\ne 1$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{rl}& m-1<0\\ & \Delta =9(m-1{)}^2+36(m-1)\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{rl}& m<1\\ & (m-1)(m+3)\le 0\end{array}⟺-3\le m<1.$
Kết hợp hai trường hợp ta được $-3\le m\le 1$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1\}$, tức là có $5$ giá trị nguyên của $m$.