Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc đoạn $[-2018;2018]$ để hàm số $y=x^3-6x^2+mx+1$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$?

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$y^{\prime }\ge 0,\forall x\in (1;+\infty )⟺3x^2-12x+m\ge 0,\forall x\in (1;+\infty )$
$⟺m\ge -3x^2+12x,\forall x\in (1;+\infty )⟺m\ge {\max }_{[1;+\infty )}g(x)$, với $g(x)=-3x^2+12x$.
Khảo sát $g(x)$: đỉnh parabol là $x=-\frac{12}{2(-3)}=2\in (1;+\infty )$.
Giá trị lớn nhất là $g(2)=-3(2{)}^2+12(2)=12$.
Do đó $m\ge 12$.
Kết hợp điều kiện $m\in [-2018;2018]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $12\le m\le 2018$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $2018-12+1=2007$. Chọn A.