Gia đình bác An gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6,5\%/năm. Biết rằng tiền lãi của kì trước được cộng vào gốc tính lãi kì sau (lãi kép).

a) Hỏi sau ba năm, gia đình bác nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Nếu tính theo thể thức lãi kép liên tục thì số tiền cả vốn lẫn lãi của gia đình bác An thu được là bao nhiêu (sau ba năm)?

b) Vẫn với 500 triệu đồng, gia đình bác An gửi tiết kiệm với lãi kép 6,5\%/năm theo kì hạn 6 tháng. Hỏi để nhận được cả gốc và lãi là 1 tỉ đồng thì gia đình bác An cần gửi bao nhiêu năm?

a) Ta có: $A_o=500$ triệu đồng là số tiền gốc ban đầu.

$r=6,5\%=0,065$ /năm là lãi suất một kỳ.

$n=3$ (năm) là số kỳ hạn gửi.

$A_n$ là số tiền cả vốn và lãi nhận được sau $n$ kỳ gửi.

Sau ba năm, gia đình bác An nhận được số tiền cả vốn và lãi là:

$A_n=A_o{\left(1+r\right)}^n=500.{\left(1+0,065\right)}^3\approx 603,975$ triệu đồng.

Với thể thức lãi kép liên tục thì số tiền gia đình bác An thu được sau ba năm là:

$A_n=A_o{e}^{tr}=500.e^{3.0,065}\approx 607,655$ triệu đồng.

b) Ta có: $A_o=500$ triệu đồng là số tiền gốc ban đầu.
$r=6,5\%=0,065$ /năm là lãi suất một kỳ.
$n$ là số năm cần gửi.
$A_n=1$ tỉ đồng là số tiền cả vốn và lãi nhận được sau $n$ năm gửi.
Do kì hạn là 6 tháng, tức là mỗi năm là 2 kì tính lãi nên:
Số kì gửi là $N=2n$, lãi suất mỗi kì gửi là $\frac{r}{2}$.

Khi đó: $A_n=A_o{\left(1+\frac{r}{2}\right)}^{2n}\iff 1000=500.{\left(1+\frac{0,65\%}{2}\right)}^{2n}\iff 1,0325^{2n}=2$. (Ghi chú: bản gốc in "0,65\%" trong công thức, có vẻ là lỗi đánh máy của 0,065; giữ nguyên theo bản gốc.)

$\iff n=\frac{{\log }_{1,0325}2}{2}\approx 10,83$ (năm).

Vậy, gia đình bác An cần gửi ít nhất 11 năm để nhận được số tiền như dự định.