Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu $EF$ bắc qua sông biết rằng thành phố $A$ cách con sông một khoảng là 4 km và thành phố $B$ cách con sông một khoảng là 6 km (hình vẽ), biết $HE+KF=20$ km và độ dài $EF$ không đổi. Hỏi xây cây cầu cách thành phố $A$ là bao nhiêu kilômét để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AEFB$)? (kết quả làm tròn đến phần chục)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống bờ sông, $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống bờ sông (cùng phía như hình vẽ). Gọi $E$ là đầu cầu phía bờ của $A$, $F$ là đầu cầu phía bờ của $B$, với $HE=x$ (km), $0\le x\le 20$ thì $KF=20-x$.

Vì $A$ cách bờ sông 4 km nên $AE=\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$; vì $B$ cách bờ sông 6 km nên $BF=\sqrt{(20-x{)}^2+6^2}=\sqrt{(20-x{)}^2+36}$. Độ dài cầu $EF$ không đổi nên chỉ cần tối thiểu tổng:
$$f(x)=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{(20-x{)}^2+36}.$$

Ta có
$$f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}-\frac{20-x}{\sqrt{(20-x{)}^2+36}}.$$

$f^{\prime }(x)=0⟺\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{20-x}{\sqrt{(20-x{)}^2+36}}$. Bình phương hai vế (cùng không âm):
$$x^2\left((20-x{)}^2+36\right)=(20-x{)}^2\left(x^2+16\right)⟺36x^2=16(20-x{)}^2⟺6x=4(20-x)⟺x=8.$$

Bảng biến thiên: với $x<8$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>8$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=8$, tức $HE=8$ km.

Vậy cây cầu phải được xây sao cho khoảng cách từ thành phố $A$ đến đầu cầu $E$ là
$$AE=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}\approx 8,9\text{ km}$$
(khoảng cách theo phương bờ sông từ $H$ đến $E$ là $8$ km) để đường đi $A\to E\to F\to B$ ngắn nhất.