Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x$ (cm), chiều cao là $h$ (cm) và thể tích là $4000{\mathrm{cm}}^3$. Tìm độ dài cạnh hình vuông $x$ sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V=x^{2}h=4000\Rightarrow h=\frac{4000}{x^2}$ với $x>0$.

Diện tích bìa các tông (đáy hình vuông cộng 4 mặt bên, hộp không nắp):
$$S(x)=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{4000}{x^2}=x^2+\frac{16000}{x},x>0.$$

Xét hàm $S(x)=x^2+\frac{16000}{x}$ trên $(0;+\infty )$:
$$S^{\prime }(x)=2x-\frac{16000}{x^2}.$$

$S^{\prime }(x)=0\iff 2x^3=16000\iff x^3=8000\iff x=20$ (cm).

Với $0<x<20$ thì $S^{\prime }(x)<0$; với $x>20$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên hàm $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=20$. Khi đó $h=\frac{4000}{400}=10$ (cm) và $S_{\min }=400+800=1200{\mathrm{cm}}^2$.

Vậy độ dài cạnh hình vuông cần tìm là $x=20$ cm để hộp tốn ít bìa các tông nhất.