Kí hiệu $S=\{m\in \mathbb{Z}\}$ để phương trình $x^3-5x+2\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}+m=3$ có 3 nghiệm thực phân biệt. Tổng các phần tử của $S$ bằng

Phương trình tương đương với:
$2x^3+3x^2+m+2\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}=x^3+3x^2+5x+3=(x+1{)}^3+2(x+1)$.
Đặt $u=\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}$, phương trình trở thành:
$u^3+2u=(x+1{)}^3+2(x+1)$.
Xét hàm số $f(t)=t^3+2t$, ta có $f^{\prime }(t)=3t^2+2>0$ với mọi $t$, do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra:
$u=x+1⟺\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}=x+1⟺2x^3+3x^2+m=(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$.
$⟺m=-x^3+3x+1$.
Để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $g(x)=-x^3+3x+1$ tại 3 điểm phân biệt.
Ta có $g^{\prime }(x)=-3x^2+3=0⟺x=\pm 1$.
- $g(-1)=-1$ (cực tiểu).
- $g(1)=3$ (cực đại).
Do đó điều kiện để có 3 nghiệm thực phân biệt là:
$-1<m<3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\{0;1;2\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là $0+1+2=3$.