Kiến trúc sư thiết kế một con đường để chia khu đất hình chữ nhật với , thành hai phần (hai lề đường là các đường cong và ). Trong đó phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn , , là sân chơi, phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn , , để trồng hoa (tham khảo hình vẽ). Nếu gắn một hệ trục tọa độ vuông góc có trục hoành, trục tung lần lượt cùng phương với các đường thẳng , thì đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba . Đường cong nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong theo phương thẳng đứng lên phía trên . Biết , , điểm cách các cạnh , lần lượt và , điểm cách các cạnh , lần lượt và . Gọi là diện tích phần sân chơi và là diện tích phần trồng hoa. Ta có với là số nguyên, là phân số tối giản. Tính
Kiến trúc sư thiết kế một con đường để chia khu đất hình chữ nhật với , thành hai phần (hai lề đường là các đường cong và ). Trong đó phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn , , là sân chơi, phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn , , để trồng hoa (tham khảo hình vẽ). Nếu gắn một hệ trục tọa độ vuông góc có trục hoành, trục tung lần lượt cùng phương với các đường thẳng , thì đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba . Đường cong nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong theo phương thẳng đứng lên phía trên . Biết , , điểm cách các cạnh , lần lượt và , điểm cách các cạnh , lần lượt và . Gọi là diện tích phần sân chơi và là diện tích phần trồng hoa. Ta có với là số nguyên, là phân số tối giản. Tính
Đáp án chính thức: 87
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A=(0,0), B=(40,0), D=(0,60), C=(40,60). Khi đó P=(0,30), R=(40,20), Q=(20,25), I=(25,35). Giả sử f(x)=ax³+bx²+cx+d. Từ P: d=30. Thay Q, I, R vào ta được hệ: 8000a+400b+20c=−5; 15625a+625b+25c=5; 64000a+1600b+40c=−10. Giải ra a=−0.006, b=0.36, c=−5.05, d=30, tức f(x)=−0.006x³+0.36x²−5.05x+30. Diện tích phần trồng hoa: S₂=∫₀⁴⁰ f(x)dx = −0.006·40⁴/4 + 0.36·40³/3 − 5.05·40²/2 + 30·40 = −960+7680−4040+1200 = 3880 (m²). Đường cong HEK là y=f(x)+10, nên S₁=∫₀⁴⁰ (f(x)+10)dx = 3880+400 = 4280 (m²). Vậy S₁/S₂ = 4280/3880 = 107/97, tức a=107, b=97 (tối giản). Do đó 2b−a = 194−107 = 87.
Chọn hệ trục: A=(0,0), B=(40,0), D=(0,60), C=(40,60). Khi đó P=(0,30), R=(40,20), Q=(20,25), I=(25,35). Giả sử f(x)=ax³+bx²+cx+d. Từ P: d=30. Thay Q, I, R vào ta được hệ: 8000a+400b+20c=−5; 15625a+625b+25c=5; 64000a+1600b+40c=−10. Giải ra a=−0.006, b=0.36, c=−5.05, d=30, tức f(x)=−0.006x³+0.36x²−5.05x+30. Diện tích phần trồng hoa: S₂=∫₀⁴⁰ f(x)dx = −0.006·40⁴/4 + 0.36·40³/3 − 5.05·40²/2 + 30·40 = −960+7680−4040+1200 = 3880 (m²). Đường cong HEK là y=f(x)+10, nên S₁=∫₀⁴⁰ (f(x)+10)dx = 3880+400 = 4280 (m²). Vậy S₁/S₂ = 4280/3880 = 107/97, tức a=107, b=97 (tối giản). Do đó 2b−a = 194−107 = 87.