Lợi nhuận thu được $L$ (triệu đồng) của một công ty khi dùng số tiền $x$ (triệu đồng) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức: $L=L(x)=\frac{1}{10}{x}^3+6x^2+500$ với $x\ge 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $L(x)=\frac{1}{10}{x}^3+6x^2+500$ với $x\ge 0$. Ta có $L^{\prime }(x)=\frac{3}{10}{x}^2+12x=x\left(\frac{3}{10}x+12\right)$. Trên miền $x\ge 0$ thì $L^{\prime }(x)\ge 0$ (đẳng thức chỉ tại $x=0$), nên hàm số đồng biến trên $[0;+\infty )$.
a) Sai: $L^{\prime }(x)=0$ có nghiệm $x=0$ và $x=-40$, nhưng $x=-40$ không thuộc tập xác định; $x=0$ là điểm biên nên không phải điểm cực trị. Hàm số không có điểm cực trị nào (nói riêng không có hai điểm cực trị).
b) Đúng: vì $L^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>0$, hàm số đồng biến, tức lợi nhuận tăng khi số tiền chi cho quảng cáo tăng.
c) Sai: hàm số đồng biến và $L(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên lợi nhuận không có giá trị lớn nhất (không thể kết luận tối đa là 3,7 tỷ đồng).
d) Sai: giải $L(x)=800\iff \frac{1}{10}{x}^3+6x^2=300\iff x^3+60x^2=3000$. Với $x\ge 0$, hàm $g(x)=x^3+60x^2$ đồng biến từ 0 đến $+\infty$ nên phương trình có đúng một nghiệm dương (khoảng $x\approx 6,5$). Vậy chỉ có một phương án, không phải hai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$L^{\prime }(x)=x(0,3x+12)$; trên $x\ge 0$ chỉ có nghiệm $x=0$ là điểm biên, không phải cực trị. Hàm không có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$L^{\prime }(x)>0$ với mọi $x>0$ nên $L$ đồng biến trên $[0;+\infty )$: lợi nhuận tăng khi chi phí quảng cáo tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$L$ đồng biến và $L(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ nên không có giá trị lớn nhất; không thể là 3,7 tỷ đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^3+60x^2=3000$ có đúng một nghiệm dương (vì $x^3+60x^2$ đồng biến với $x\ge 0$), nên chỉ có một phương án đạt lợi nhuận 800 triệu đồng.