Cho hàm số $y=\frac{2x^2-3x+6}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{2x^2-3x+6}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) $y^{\prime }=\frac{(4x-3)(x-2)-(2x^2-3x+6)}{(x-2{)}^2}=\frac{4x^2-11x+6-2x^2+3x-6}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-8x}{(x-2{)}^2}$. Đúng.
b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=4$. Trên $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }<0$ (giảm); trên $(0;2)$: $y^{\prime }>0$ (tăng); trên $(2;4)$: $y^{\prime }>0$ (tăng); trên $(4;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ (giảm). $y(0)=-3$ là cực tiểu, $y(4)=\frac{32-12+6}{2}=13$ là cực đại, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=-\infty$. Bảng biến thiên trong đề khớp hoàn toàn. Đúng.
c) $x=2$ là tiệm cận đứng. Chia đa thức: $2x^2-3x+6=(x-2)(2x+1)+8$, nên $y=2x+1+\frac{8}{x-2}\to 2x+1$ khi $x\to \pm \infty$: tiệm cận xiên $y=2x+1$. Đúng.
d) Hai điểm cực trị: $(0;-3)$ và $(4;13)$. Khoảng cách $=\sqrt{4^2+16^2}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(4x-3)(x-2)-(2x^2-3x+6)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-8x}{(x-2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=0,4$; giảm trên $(-\infty ;0)$, tăng trên $(0;2)$ và $(2;4)$, giảm trên $(4;+\infty )$; cực tiểu $-3$ tại $x=0$, cực đại $13$ tại $x=4$; ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=-\infty$. Khớp bảng biến thiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x+1+\frac{8}{x-2}$ nên TCĐ $x=2$, TCX $y=2x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai cực trị $(0;-3)$ và $(4;13)$, khoảng cách $\sqrt{16+256}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}$.