Một công ty sản xuất đồ chơi muốn tối ưu hóa lợi nhuận từ việc sản xuất một loại búp bê. Họ nhận thấy rằng, với mỗi đơn vị sản xuất, chi phí cố định là 500.000 đồng, chi phí biến đổi là 100.000 đồng. Mặt khác, nếu sản xuất x đơn vị búp bê thì giá bán mỗi đơn vị là $P(x)=600.000-10.000x$ đồng. Hỏi công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị búp bê để đạt lợi nhuận tối đa?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số đơn vị búp bê sản xuất ($x\ge 0$). Doanh thu khi bán $x$ đơn vị với giá $P(x)=600.000-10.000x$ (đồng) là: $$R(x)=xP(x)=600.000x-10.000x^2.$$ Tổng chi phí gồm chi phí cố định $500.000$ đồng và chi phí biến đổi $100.000$ đồng cho mỗi đơn vị: $$C(x)=500.000+100.000x.$$ Lợi nhuận: $$L(x)=R(x)-C(x)=600.000x-10.000x^2-500.000-100.000x=500.000x-10.000x^2-\mathrm{500.000.}$$ Xét hàm số $L(x)=-10.000x^2+500.000x-500.000$ trên $x\ge 0$. Ta có $$L^{\prime }(x)=-20.000x+500.000;L^{\prime }(x)=0\iff x=25.$$ Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x<25$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x>25$, hàm $L(x)$ đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất trên $x\ge 0$) tại $x=25$. Lợi nhuận tối đa: $$L(25)=-10.000\cdot 625+500.000\cdot 25-500.000=\mathrm{5.750.000}\text{ đoˆˋng}.$$ Vậy công ty nên sản xuất $25$ đơn vị búp bê để đạt lợi nhuận tối đa, lợi nhuận tối đa là $\mathrm{5.750.000}$ đồng.