Một công ty tổ chức sự kiện đang thiết kế một kiểu lều (shelter) đặc biệt có dạng hình chóp tứ giác, ký hiệu là S.ABCD. - Mặt sàn: Tấm bạt lót sàn (ABCD) là một

Question

Một công ty tổ chức sự kiện đang thiết kế một kiểu lều (shelter) đặc biệt có dạng hình chóp tứ giác, ký hiệu là S.ABCD.
- Mặt sàn: Tấm bạt lót sàn (ABCD) là một hình vuông hoàn hảo, có độ dài cạnh là $2$ .
- Thiết kế đặc biệt: Do yêu cầu địa hình, một mặt bên của lều (mặt SAD) được thiết kế là một tấm vải hình tam giác cân tại S và được dựng thẳng đứng (vuông góc với mặt sàn).
- Không gian: Không gian bên trong lều (thể tích) được tính toán chính xác là $\frac{4}{3}$ để đảm bảo đủ không khí lưu thông.
Để gia cố cho lều trong điều kiện gió, đội kỹ thuật cần căng một sợi dây cáp từ một cọc neo ở góc sàn B đến một điểm trên mặt vải chéo đối diện (mặt SCD). Để tiết kiệm vật liệu và đảm bảo lực căng tối ưu, sợi cáp này phải là đoạn ngắn nhất có thể. Tính độ dài h của sợi dây cáp ngắn nhất đó.

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: (AI giải đề cho tôi) Chọn hệ trục: A(0;0;0), B( 2;0;0), D(0; 2;0), C( 2; 2;0). Vì (SAD) (ABCD) và tam giác SAD cân tại S nên hình chiếu của S xuống (ABCD) là trung điểm O của AD: O(0; 2 2 ;0), S(0; 2 2 ;h S). Thể tích: V= 13 S ABCD h S= 13 2 h S= 2h S 3 = 43 h S=2, tức S(0; 2 2 ;2). Mặt phẳng (SCD): với DC =( 2;0;0), DS =(0;- 2 2 ;2), pháp tuyến n = DC DS =(0;-2 2;-1), qua D(0; 2;0) nên (SCD): 2 2 y+z=4. Khoảng cách từ B( 2;0;0) đến mặt phẳng: |0+0-4| 8+1 = 43. Hình chiếu của B lên mặt phẳng là H( 2; 8 2 9 ; 49). Kiểm tra H có thuộc tam giác SCD không: viết H= S+ C+ D với + + =1. Từ hoành độ x: 2= 2 =1 = =0, khi đó phải có H=C, nhưng H C (tung độ khác nhau). Vậy H nằm ngoài tam giác SCD, nên điểm gần B nhất trên tam giác nằm trên biên. Xét ba cạnh: - Cạnh CD: y= 2,\ z=0, khoảng cách từ B nhỏ nhất tại C bằng 2 1 , 414. - Cạnh SD: điểm (0; 2 2 (1+t);2(1-t)), t [0;1]. Bình phương khoảng cách: f(t)=2+ 12(1+t) 2+4(1-t) 2. f'(t)=(1+t)-8(1-t)=0 t= 79, f( 79)=2+ 128 81 + 16 81 = 34 9 , tức d (B,SD)= 34 3 1 , 944. - Cạnh SC: điểm S+t(C-S)=(t 2; 2 2 (1+t);2(1-t)). Bình phương khoảng cách: g(t)=2(1-t) 2+ 12(1+t) 2+4(1-t) 2. g'(t)=-12(1-t)+(1+t)=0 t= 11 13 [0;1], g( 11 13 )= 8 169 + 288 169 + 16 169 = 312 169 , tức d (B,SC)= 312 13 = 2 78 13 1 , 359. So sánh: 2 78 13 1 , 359< 2 1 , 414< 34 3 1 , 944. Vậy độ dài sợi cáp ngắn nhất là h= 2 78 13 1 , 36 (m), đạt tại điểm trên cạnh SC với t= 11 13 .

Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường Toán 12 THPT A Hải Hậu Sở GD&ĐT Ninh Bình 2025-2026

Các câu hỏi khác trong đề (32 câu)