Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $E,F$ lần lượt thuộc $SB$, $SD$ thỏa $EF//BD$, tính giá trị lớn nhất thể tích tứ diện $ACEF$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a)$. Vì $EF//BD$ nên đặt $t=\frac{SE}{SB}\in (0;1)$, khi đó $E(ta;0;a(1-t))$, $F(0;ta;a(1-t))$.

a) $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a^2=\frac{a^3}{3}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a)$, $\overrightarrow{AE}=(ta;0;a(1-t))$ nên $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AE}=a^2(2t-1)$, chỉ bằng $0$ khi $t=\frac{1}{2}$. Vậy $SC\perp (AEF)$ chỉ xảy ra khi $SE=\frac{1}{2}SB$, không đúng với mọi vị trí của $E,F$. Sai.

c), d) Thể tích tứ diện $ACEF$:
$$V=\frac{1}{6}\left|\det (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AC})\right|.$$
Tính $\overrightarrow{AF}\times \overrightarrow{AC}=\left(-a^2(1-t);a^2(1-t);-t{a}^2\right)$, suy ra $\overrightarrow{AE}\cdot (\overrightarrow{AF}\times \overrightarrow{AC})=-2t{a}^3(1-t)$, do đó
$$V=\frac{a^{3}t(1-t)}{3}.$$
(Hoặc kiểm tra: $V(ACEF)=\frac{SE}{SB}V(ACSF)+\frac{EB}{SB}V(ACFB)$ với $V(ACSF)=\frac{t{a}^3}{6}$, $V(ACFB)=\frac{(1-t)a^3}{6}$, cho cùng kết quả $\frac{a^{3}t(1-t)}{3}$.)

Hàm $t(1-t)$ đạt max $=\frac{1}{4}$ tại $t=\frac{1}{2}$, tức khi $SE=\frac{1}{2}SB$ (không phải $\frac{1}{3}SB$). Vậy
$$V_{\max }=\frac{a^3}{12}\ne \frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$$

c) Sai: thể tích lớn nhất khi $SE=\frac{1}{2}SB$.
d) Sai: giá trị lớn nhất là $\frac{a^3}{12}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot a^2=\frac{a^3}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AE}=a^2(2t-1)$ chỉ bằng 0 khi $t=\frac{1}{2}$; nói chung $SC$ không vuông góc với $(AEF)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{a^{3}t(1-t)}{3}$ đạt max tại $t=\frac{1}{2}$, tức $SE=\frac{1}{2}SB$ chứ không phải $\frac{1}{3}SB$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V_{\max }=\frac{a^3}{12}$, không bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.