Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc $O$ với $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ đôi một vuông góc. Vì $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{OM}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$, $\alpha ,\beta ,\gamma >0$.

Ta có $\overrightarrow{MA}=(\alpha -1)\vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$, do các vectơ cơ sở đôi một vuông góc nên:
$$M{A}^2=(1-\alpha {)}^{2}O{A}^2+{\beta }^{2}O{B}^2+{\gamma }^{2}O{C}^2.$$
Tương tự cho $M{B}^2,M{C}^2$, cộng lại:
$$T=\left[(1-\alpha {)}^2+{\alpha }^2+{\alpha }^2\right]+\left[{\beta }^2+(1-\beta {)}^2+{\beta }^2\right]+\left[{\gamma }^2+{\gamma }^2+(1-\gamma {)}^2\right]$$
$$=\sum _{\text{cyc}}\left(1-2\alpha +3{\alpha }^2\right)=3-2(\alpha +\beta +\gamma )+3({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)=1+3({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2).$$

Theo Cauchy–Schwarz: ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge \frac{(\alpha +\beta +\gamma {)}^2}{3}=\frac{1}{3}$, dấu bằng khi $\alpha =\beta =\gamma =\frac{1}{3}$, tức $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ (thuộc miền trong tam giác, thỏa mãn).

Vậy $T_{\min }=1+3\cdot \frac{1}{3}=2$. Đáp án C.