Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ $(C)$, gọi $I$ là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ và $M\left(a;b\right)$ là một điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M$ cắt hai tiệm cận của đồ thị $(C)$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$. Khi tam giác $IAB$ có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất thì tổng $a+b$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, tâm đối xứng $I(-1;2)$. Điểm $M(a;b)$ thuộc $(C)$ nên $b=2-\frac{1}{a+1}$, với $a\ne -1$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{(x+1{)}^2}$, tiếp tuyến tại $M$: $y=b+\frac{x-a}{(a+1{)}^2}$.

Giao với tiệm cận đứng $x=-1$: $y_A=b-\frac{1}{a+1}=2-\frac{2}{a+1}$, tức $A\left(-1;2-\frac{2}{a+1}\right)$.

Giao với tiệm cận ngang $y=2$: $2=b+\frac{x-a}{(a+1{)}^2}\Rightarrow x=a+(2-b)(a+1{)}^2=a+\frac{1}{a+1}(a+1{)}^2=2a+1$, tức $B(2a+1;2)$.

Tam giác $IAB$ vuông tại $I$ với hai cạnh góc vuông $IA=\frac{2}{|a+1|}$, $IB=2|a+1|$. Đặt $t=|a+1|>0$, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông: $r=\frac{u+v-\sqrt{u^2+v^2}}{2}=t+\frac{1}{t}-\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}$.

Đặt $s=t+\frac{1}{t}\ge 2$ thì $\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}=\sqrt{s^2-2}$, nên $r=s-\sqrt{s^2-2}$, hàm giảm theo $s$ (vì $r^{\prime }=1-\frac{s}{\sqrt{s^2-2}}<0$). Do đó $r$ lớn nhất khi $s=2$, tức $t=1$, khi đó $a+1=\pm 1$ nên $a=0$ hoặc $a=-2$.

- Với $a=0$: $b=2-1=1\Rightarrow a+b=1$.
- Với $a=-2$: $b=2+1=3\Rightarrow a+b=1$.

Vậy $a+b=1$, chọn đáp án B.