Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi số $y$ có không quá 5 số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(3^{2x+1}+2.3^x-1\right)\left(3^x-y\right)\le 0$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x$ ($t>0$). Ta có $3^{2x+1}+2\cdot 3^x-1=3t^2+2t-1=(3t-1)(t+1)$. Vì $t+1>0$ nên nhân tử đầu dương khi $t>\frac{1}{3}$, bằng 0 khi $t=\frac{1}{3}$, âm khi $0<t<\frac{1}{3}$.

Xét bất phương trình $(3t-1)(t+1)(t-y)\le 0$ với $y$ là số nguyên dương ($y\ge 1>\frac{1}{3}$):
- Nếu $0<t<\frac{1}{3}$ (tức $x\le -2$): nhân tử đầu âm, cần $t-y\ge 0$ tức $t\ge y$, vô lý vì $y\ge 1>1/3$. Không có nghiệm.
- Nếu $t=\frac{1}{3}$ (tức $x=-1$): tích bằng 0, thỏa mãn. Đây là 1 nghiệm.
- Nếu $t>\frac{1}{3}$ (tức $x\ge 0$): nhân tử đầu dương, cần $t\le y$ tức $3^x\le y$, suy ra $0\le x\le {\log }_{3}y$, tức $x\in \{0,1,\dots ,\lfloor {\log }_{3}y\rfloor \}$: có $\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +1$ nghiệm.

Tổng số nghiệm nguyên $x$ là $\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +2$. Yêu cầu không quá 5 nghiệm:
$$\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +2\le 5⟺\lfloor {\log }_{3}y\rfloor \le 3⟺y<3^4=81⟺y\le 80.$$

Vậy có 80 số nguyên dương $y$ thỏa mãn. Đáp án D.