Biết phương trình $2{\sin }^{2}x-(5m+1)\sin x+2m^2+2m=0$ có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};3\pi \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$, phương trình $2t^2-(5m+1)t+2m^2+2m=0$ có $\Delta =(5m+1{)}^2-8(2m^2+2m)=9m^2-6m+1=(3m-1{)}^2$, nên hai nghiệm $t_1=2m$, $t_2=2m+\frac{1}{2}$.

Đếm số nghiệm của $\sin x=t$ trên $\left(-\frac{\pi }{2};3\pi \right)$ (độ dài $\frac{7\pi }{2}$):
- Với $t\in (-1;1)$, $t\ne 0$: đúng 4 nghiệm (ví dụ $t=\frac{1}{2}$: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}$).
- $t=0$: 3 nghiệm $(0,\pi ,2\pi )$.
- $t=1$: 2 nghiệm $\left(\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right)$.
- $t=-1$: 1 nghiệm $\left(\frac{3\pi }{2}\right)$ vì $-\frac{\pi }{2}$ bị loại và $\frac{7\pi }{2}>3\pi$.
- $|t|>1$: 0 nghiệm.

Cần tổng 5 nghiệm. Xét các khả năng:
- $t_1=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{2}$, khi đó $t_2=\frac{1}{2}\in (-1;1)$ cho 4 nghiệm: tổng $1+4=5$ nghiệm. Thỏa mãn, $m=-\frac{1}{2}\in (-1;0)$.
- $t_1=0\Rightarrow m=0$: $t_2=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm, tổng 7. Loại.
- $t_2=0\Rightarrow m=-\frac{1}{4}$: $t_1=-\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm, tổng 7. Loại.
- $t_1=1\Rightarrow m=\frac{1}{2}$: $t_2=\frac{3}{2}$ vô nghiệm, tổng 2. Loại.
- $t_2=1\Rightarrow m=\frac{1}{4}$: $t_1=\frac{1}{2}$ cho 4 nghiệm, tổng 6. Loại.

Vậy $m=-\frac{1}{2}\in (-1;0)$, đáp án A.