Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $60cm$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bông hoa có bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).



Diện tích bông hoa của viên gạch là bao nhiêu centimet vuông?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục Oxy với gốc tại tâm viên gạch, các cạnh hình vuông song song với trục. Vì cạnh hình vuông bằng 60 cm nên các đỉnh hình vuông là $(\pm 30;\pm 30)$.

Bốn parabol có chung đỉnh tại tâm $O(0;0)$, mỗi parabol đi qua hai đỉnh kề của hình vuông. Trong góc phần tư thứ nhất, cánh hoa giới hạn bởi hai parabol:
$$P_1:y=\frac{x^2}{30},P_2:y=\sqrt{30x}\left(\text{tức }x=\frac{y^2}{30}\right)$$
(hai parabol này cùng đi qua $O(0;0)$ và $(30;30)$, và chỉ cắt nhau tại hai điểm đó).

Diện tích một cánh hoa trong góc phần tư thứ nhất:
$$S_1={\int }_0^{30}\left(\sqrt{30x}-\frac{x^2}{30}\right)dx$$
Tính từng phần:
$${\int }_0^{30}\sqrt{30x}dx=\sqrt{30}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^{30}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{30}\cdot 30\sqrt{30}=600$$
$${\int }_0^{30}\frac{x^2}{30}dx=\frac{x^3}{90}{|}_0^{30}=\frac{27000}{90}=300$$
Suy ra $S_1=600-300=300{\text{cm}}^2$.

Do tính đối xứng, bông hoa gồm bốn cánh hoa như nhau:
$$S=4\times 300=1200{\text{cm}}^2.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 102: 1200).