Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=18\left(m^3\right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao $h$ bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng đáy là $x$ (m), chiều dài là $3x$ (m), chiều cao $h$ (m) với $x>0$, $h>0$. Thể tích bể: $V=3x^{2}h=18\Rightarrow x^{2}h=6\Rightarrow h=\frac{6}{x^2}$.

Bể không có nắp nên diện tích nguyên vật liệu gồm đáy và 4 mặt bên:
$$S=3x^2+2\cdot x\cdot h+2\cdot 3x\cdot h=3x^2+8xh=3x^2+\frac{48}{x}.$$

Xét hàm $S(x)=3x^2+\frac{48}{x}$ trên $(0;+\infty )$:
$$S^{\prime }(x)=6x-\frac{48}{x^2}=0\Rightarrow x^3=8\Rightarrow x=2.$$
Với $0<x<2$ thì $S^{\prime }(x)<0$, với $x>2$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$.

Khi đó $h=\frac{6}{2^2}=\frac{6}{4}=1,5$ (m), diện tích nhỏ nhất $S=12+24=36(m^2)$.

Vậy cần xây bể có chiều cao $h=1,5$ m để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất.