Rút gọn biểu thức
1) $A=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}.t{g}^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\cos }^{2}x$
2) $B=\frac{\sin 3x.\cos 5x-\sin 5x.\cos 3x}{\cos x}$
3) $C=\frac{2}{\sin 4x}-\cot g2x$
4) $D=\frac{{\sin }^{2}2x-4{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}2x+4{\sin }^{2}x-4}$
5) $E=\frac{\cot g\frac{a}{2}+tg\frac{a}{2}}{\cot g\frac{a}{2}-tg\frac{a}{2}}$
6) $H=\frac{2{\cos }^{2}a-1}{2tg\left(\frac{\pi }{4}-a\right).{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 121: Rút gọn 6 biểu thức.

1) $A=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}{\tan }^2\frac{x}{2}-{\cos }^{2}x$. Dùng hệ thức ${\tan }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$, suy ra $A=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$.

2) $B=\frac{\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin (3x-5x)}{\cos x}=\frac{-\sin 2x}{\cos x}=-2\sin x$.

3) $C=\frac{2}{\sin 4x}-\cot 2x$. Ta có $\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}$ (nhân tử mẫu với $2\cos 2x$), nên $C=\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{2\sin 2x\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

4) $D=\frac{{\sin }^{2}2x-4{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}2x+4{\sin }^{2}x-4}$. Thay ${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$:
Tử $=4{\sin }^{2}x({\cos }^{2}x-1)=-4{\sin }^{4}x$.
Mẫu $=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x-4=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-1)=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x)=-4{\cos }^{4}x$.
Vậy $D=\frac{-4{\sin }^{4}x}{-4{\cos }^{4}x}={\tan }^{4}x$.

5) $E=\frac{\cot \frac{a}{2}+\tan \frac{a}{2}}{\cot \frac{a}{2}-\tan \frac{a}{2}}$. Nhân tử và mẫu với $\tan \frac{a}{2}$: $E=\frac{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}$. Theo công thức $\cos a=\frac{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}$ nên $E=\frac{1}{\cos a}$.

6) $H=\frac{2{\cos }^{2}a-1}{2\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Tử $=\cos 2a$. Vì $\frac{\pi }{4}-a=\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+a\right)$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Do đó mẫu $=2\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2a\right)=\cos 2a$. Vậy $H=1$.