Rút gọn biểu thức: $A=({\log }_b^{3}a+2{\log }_b^{2}a+{\log }_{b}a)\cdot ({\log }_{a}b-{\log }_{ab}b)-{\log }_{b}a=m$. Tính $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{b}a$ (với $a,b>0$, $ab\ne 1$, $x\ne 0$, $x\ne -1$). Khi đó ${\log }_{a}b=\frac{1}{x}$ và ${\log }_{ab}b=\frac{1}{{\log }_b(ab)}=\frac{1}{1+x}$.

Suy ra ${\log }_{a}b-{\log }_{ab}b=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}=\frac{1}{x(1+x)}$.

Tử thứ nhất: ${\log }_b^{3}a+2{\log }_b^{2}a+{\log }_{b}a=x^3+2x^2+x=x(x+1{)}^2$.

Do đó:
$$A=x(x+1{)}^2\cdot \frac{1}{x(x+1)}-x=(x+1)-x=1.$$

Vậy $m=1$.