Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A={\log }_{\frac{1}{3}}5+2{\log }_{9}25-{\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{5}$; b) $B={\log }_a{M}^2+{\log }_{a^2}{M}^4$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đổi tất cả về cơ số 3: ${\log }_{\frac{1}{3}}5=-{\log }_{3}5$; $2{\log }_{9}25=2\cdot \frac{{\log }_{3}25}{{\log }_{3}9}=2\cdot \frac{2{\log }_{3}5}{2}=2{\log }_{3}5$; ${\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{5}=\frac{{\log }_3(5^{-1})}{1/2}=-2{\log }_{3}5$, nên $-{\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{5}=2{\log }_{3}5$. Vậy $A=-{\log }_{3}5+2{\log }_{3}5+2{\log }_{3}5=3{\log }_{3}5={\log }_{3}125$.

b) Với $a>0,a\ne 1,M>0$: ${\log }_a{M}^2=2{\log }_{a}M$; ${\log }_{a^2}{M}^4=\frac{4{\log }_{a}M}{{\log }_a{a}^2}=\frac{4{\log }_{a}M}{2}=2{\log }_{a}M$. Vậy $B=4{\log }_{a}M$.