Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A={\log }_{2}3.{\log }_{3}4.{\log }_{4}5.{\log }_{5}6.{\log }_{6}7.{\log }_{7}8$; b) $B={\log }_{2}2.{\log }_{2}4.\dots .{\log }_2{2}^n$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Dùng công thức đổi cơ số: ${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$, các thừa số triệt tiêu theo kiểu dây chuyền:
$$A=\frac{\ln 3}{\ln 2}.\frac{\ln 4}{\ln 3}.\frac{\ln 5}{\ln 4}.\frac{\ln 6}{\ln 5}.\frac{\ln 7}{\ln 6}.\frac{\ln 8}{\ln 7}=\frac{\ln 8}{\ln 2}={\log }_{2}8=3.$$
Vậy $A=3$.

b) $B={\log }_{2}2.{\log }_{2}4.\dots .{\log }_2{2}^n={\log }_{2}2.{\log }_2{2}^2.\dots .{\log }_2{2}^n=\mathrm{1.2.}\dots .n=n!$.
Vậy $B=n!$.