Cho số thực $0<a\ne 1$. Tính giá trị của các biểu thức:
$$A={\log }_{\sqrt{a}}\left(a^2\sqrt[3]{a}\right);B={\log }_a\left(\frac{a^2\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right)+a^{2{\log }_a\frac{\sqrt{105}}{30}}$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a^2\sqrt[3]{a}=a^{2+1/3}=a^{7/3}$ và $\sqrt{a}=a^{1/2}$, nên $A={\log }_{a^{1/2}}{a}^{7/3}=\frac{7/3}{1/2}=\frac{14}{3}$.

Với $B$: tử số là $a^{2+1/3+4/5}$, mẫu là $a^{1/4}$, nên số bên trong lôgarit là $a^{2+1/3+4/5-1/4}=a^{173/60}$, do đó ${\log }_a(\cdots )=\frac{173}{60}$.

Về phần mũ: $a^{2{\log }_a\frac{\sqrt{105}}{30}}={\left(\frac{\sqrt{105}}{30}\right)}^2=\frac{105}{900}=\frac{7}{60}$.

Vậy $B=\frac{173}{60}+\frac{7}{60}=\frac{180}{60}=3$. Kết luận: $A=\frac{14}{3},B=3$.