Tìm các số thực $x>0$, $y>1$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
$$e^{x^3+x}+{\log }_2\frac{8x}{y-1}=e^{y^3-3y^2+4y-2}+3\text{ vaˋ }2024^x+2026^{y-1}=2025x+2023y-2025.$$

Ta có: $e^{x^3+x}+{\log }_{2}x=e^{(y-1{)}^3+(y-1)}+{\log }_2(y-1)$.
Xét hàm số $f(t)=e^{t^3+t}+{\log }_{2}t$, $t>0$ có $f^{\prime }(t)=\left(3t^2+1\right).e^{t^3+t}+\frac{1}{t\ln 2}>0,\forall t>0$ $\Rightarrow$ hàm số $f(t)$ luôn đồng biến và liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có $f(x)=f(y-1)\iff x=y-1\iff y=x+1$.
Ta có phương trình $2024^x+2026^x-4048x+2=0$.
Xét hàm số $g(x)=2024^x+2026^x-4048x+2$; $g^{\prime }(x)=2024^x\ln 2024+2026^x\ln 2026-4048$ liên tục trên đoạn $[0;1]$.
Ta có $g^{\prime }(0).g^{\prime }(1)<0\Rightarrow g^{\prime }(x)=0$ có một nghiệm $x_0\in (0;1)$.
Ta có $g^{\prime \prime }(x)=2024^x{\left(\ln 2024\right)}^2+2026^x{\left(\ln 2026\right)}^2$; $g^{\prime \prime }(x)>0\forall x\in (0;1)$ $\Rightarrow g^{\prime }(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )\Rightarrow x_0$ là nghiệm duy nhất của $g^{\prime }(x)$.
Ta có bảng biến thiên:

Dựa trên bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm trên khoảng $(0;+\infty )\Rightarrow g(x)=0$ có nghiệm $x=a\Rightarrow y=a+1$; $x=b\Rightarrow y=b+1$ $(0<a<b)$.