Cho hàm số $y=\frac{7-4x}{2x-1}$ có đồ thị $(H)$, điểm $M\in (H)$. Tổng khoảng cách từ $M$ tới hai đường tiệm cận của $(H)$ nhỏ nhất là

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{7-4x}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Với $M\left(x;\frac{7-4x}{2x-1}\right)\in (H)$, ta có $y+2=\frac{7-4x+2(2x-1)}{2x-1}=\frac{5}{2x-1}$. Đặt $t=|2x-1|>0$, tổng khoảng cách từ $M$ tới hai tiệm cận là $d=\left|x-\frac{1}{2}\right|+|y+2|=\frac{t}{2}+\frac{5}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{5}{t}}=2\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{10}$, dấu bằng khi $t=\sqrt{10}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{10}$, khớp với đáp án nguồn D.