Cho hàm số $f(x)=2x^3+(m+1)x^2-12x+1$ ($m$ là tham số), tập hợp các giá trị $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $x-9y=0$ là

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=6x^2+2(m+1)x-12$, hai điểm cực trị có hoành độ $x_1,x_2$ với $x_1+x_2=-\frac{m+1}{3}$, $x_1{x}_2=-2$ (hàm có hai điểm cực trị vì $\Delta >0$ luôn với $a=6>0$, $c=-12<0$). Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm cực trị: $k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=2(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)+(m+1)(x_1+x_2)-12$. Với $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-x_1{x}_2=\frac{(m+1{)}^2}{9}+2$, ta được $k=\frac{2(m+1{)}^2}{9}+4-\frac{(m+1{)}^2}{3}-12=-\frac{(m+1{)}^2}{9}-8$. Đường thẳng $x-9y=0$ có hệ số góc $\frac{1}{9}$, nên cần $k=-9$: $-\frac{(m+1{)}^2}{9}-8=-9\iff (m+1{)}^2=9\iff m=2$ hoặc $m=-4$. Vậy tập hợp là $\{-4;2\}$, khớp đáp án B.