Tìm giá trị của $m$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+1}-2}{2x-6}& \text{khi }x>3\\ \frac{m}{4}-\frac{x}{2}& \text{khi }x\le 3\end{array}$ liên tục tại $x_0=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x_0=3$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(3)$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-2}{2x-6}$. Nhân liên hợp: $\sqrt{x+1}-2=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}$, nên giới hạn bằng ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x-3}{2(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{2(2+2)}=\frac{1}{8}$.

Giới hạn trái và giá trị tại $x=3$: $f(3)=\frac{m}{4}-\frac{3}{2}$.

Để hàm liên tục tại $x=3$: $\frac{m}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{m}{4}=\frac{13}{8}\Rightarrow m=\frac{13}{2}$.