Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y=\frac{x^3}{3}+2x^2-5x+1$ trên đoạn $[-1;3]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^3}{3}+2x^2-5x+1$ trên đoạn $[-1;3]$.

Ta có $y^{\prime }=x^2+4x-5$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-5$. Vì $x=-5\notin [-1;3]$ nên trên đoạn đã cho chỉ có nghiệm $x=1$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=-1$, $x=1$, $x=3$:
- $y(-1)=\frac{-1}{3}+2+5+1=\frac{23}{3}$
- $y(1)=\frac{1}{3}+2-5+1=-\frac{5}{3}$
- $y(3)=9+18-15+1=13$

So sánh: $\max \left\{\frac{23}{3};-\frac{5}{3};13\right\}=13$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $13$, đạt được tại $x=3$.