Tính các giới hạn sau: a) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$ b) ${\lim }_{x\to 1}\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 34. Tính các giới hạn:

a) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$

Phân tích tử số: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Với $x\ne 2$:
$$\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1.$$
Do đó ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x-1)=1.$

b) ${\lim }_{x\to 1}\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$

Tại $x=1$: tử số bằng $1-\sqrt{4}=-1\ne 0$, mẫu số bằng $-1+3-2=0$, nên ta xét dấu của mẫu số quanh $x=1$. Ta có $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)$.

Nhân liên hợp tử số:
$$\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-(x-1)(x-2)}=\frac{1-(x^2+3)}{(1+\sqrt{x^2+3})\left(-(x-1)(x-2)\right)}=\frac{x^2+2}{(1+\sqrt{x^2+3})(x-1)(x-2)}.$$

Khi $x\to 1^{+}$: $(x-1)>0$, $(x-2)\approx -1<0$ nên mẫu số đi tới $0^{-}$; tử số đi tới $\frac{1+2}{1+2}=\frac{3}{2}>0$. Vậy giới hạn bên phải là $-\infty$.

Khi $x\to 1^{-}$: $(x-1)<0$, $(x-2)<0$ nên $(x-1)(x-2)>0$, mẫu số đi tới $0^{+}$; tử số vẫn dương. Vậy giới hạn bên trái là $+\infty$.

(Kiểm tra lại bằng biểu thức gốc: tử số âm $(-1)$, mẫu $0^{-}$ khi bên trái cho $+\infty$; mẫu $0^{+}$ khi bên phải cho $-\infty$ — cùng kết luận.)

Vì hai giới hạn một bên khác nhau ($+\infty$ và $-\infty$), giới hạn ${\lim }_{x\to 1}\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$ không tồn tại (không hữu hạn, và không bằng $\pm \infty$ theo nghĩa hai bên).