Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $f(x)=x^2-2x-1,g(x)=2x-4,x=1,x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét trên đoạn $[1;3]$, ta có $f(x)-g(x)=x^2-2x-1-(2x-4)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\le 0$ với mọi $x\in [1;3]$, tức $f(x)\le g(x)$ trên $[1;3]$. Do đó diện tích hình phẳng cần tính là:
$$S={\int }_1^3[g(x)-f(x)]dx={\int }_1^3(-x^2+4x-3)dx.$$
Tính nguyên hàm: $\int (-x^2+4x-3)dx=-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x$.
Vậy
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right){|}_1^3=\left(-9+18-9\right)-\left(-\frac{1}{3}+2-3\right)=0-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}.$$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho bằng $\frac{4}{3}$ (đơn vị diện tích).