Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$ đạt cực tiểu tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$, điều kiện $x\ne -m$. Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x+m-1)(x+m)-\left(x^2+(m-1)x+3-2m\right)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2+m-3}{(x+m{)}^2}$.

Để hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ thì $y^{\prime }(-1)=0$ và $-1\ne -m$ (tức $m\ne 1$):
$$1-2m+m^2+m-3=0\iff m^2-m-2=0\iff m=2\text{ hoặc }m=-1.$$

Xét $m=2$: $y^{\prime }=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. Bảng dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$, $y^{\prime }>0$ khi $x>-1$ (với $x\ne -2$). Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=-1$, nên hàm số đạt CỰC TIỂU tại $x=-1$: thỏa mãn.

Xét $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x-1{)}^2}$. Tương tự, $y^{\prime }<0$ trên $(-3;-1)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$ và $(1;+\infty )$, nên đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=-1$: hàm số đạt CỰC TIỂU tại $x=-1$: thỏa mãn.

Cả hai giá trị $m=2$ và $m=-1$ đều thỏa mãn (đều nguyên), tổng bằng $2+(-1)=1$.