Trên mặt phẳng $Oxy$, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình $x^2+y^2=25$. Khi tới vị trí $M(1;2)$ thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn có phương trình $d:ax+by+c=0$. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng $d$ có tổng $a+b+c$ là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=5$, điểm $M(1;2)$ nằm trên đường tròn vì $1^2+2^2=5^2=25$. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $x^2+y^2=25$ có dạng $x_{0}x+y_{0}y=R^2$, tức $1\cdot x+2\cdot y=25$, hay $x+2y-25=0$. Kiểm tra: $M(1;2)$ thỏa $1+4-25$... đúng là $1+2\cdot 2-25=-20$? Kiểm tra lại: $1+2(2)-25=1+4-25=-20\ne 0$ — sai. Xem lại: tiếp tuyến đúng là $x+2y=25$ vì $OM\perp d$ với vectơ pháp tuyến $(1;2)$, và $M$ thỏa $1+2\cdot 2=5\ne 25$. Vậy công thức đúng phải là $x_{0}x+y_{0}y=x_0^2+y_0^2=5$, tức $x+2y-5=0$. Kiểm tra: $M(1;2)$: $1+4-5=0$ ✓; khoảng cách từ $O$ đến $d$ bằng $5/\sqrt{5}=\sqrt{5}$... nhưng tiếp tuyến phải cách tâm đúng $R=5$. Sửa lại: pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{OM}=(1;2)$, đường thẳng qua $M$ vuông góc $OM$: $1(x-1)+2(y-2)=0\Rightarrow x+2y-5=0$. Khoảng cách từ $O$: $|-5|/\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. Nhưng bán kính là $5$, mâu thuẫn? Thực ra $|OM|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\ne 5$, tức $M(1;2)$ KHÔNG nằm trên đường tròn $x^2+y^2=25$ (vì $1+4=5\ne 25$). Đề bài có mâu thuẫn: điểm $M(1;2)$ không thuộc đường tròn $x^2+y^2=25$. Tuy nhiên, theo cách hiểu thông thường của bài tập (tương tự Câu 2 với $M(8;6)$ thuộc $x^2+y^2=100$), đề có thể intended $M$ thuộc đường tròn. Nếu vẫn lấy tiếp tuyến qua $M$ vuông góc $OM$ (cách làm chuẩn của dạng này): $d:x+2y-5=0$, khi đó $a+b+c=1+2-5=-2$. Đây là kết quả hợp lý nhất theo dữ kiện đề (dùng $M$ làm tiếp điểm, pháp tuyến $\overrightarrow{OM}$).