Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2+4x-10y+4=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;3)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Tọa độ điểm $H(a;b)$ là trung điểm của $AB$ khi diện tích $\Delta IAB$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T=a+b$ làm tròn đến hàng phần trăm, biết $T>4$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x-10y+4=0$ có tâm $I(-2;5)$, bán kính $R=5$. Vì $H$ là trung điểm dây $AB$ nên $IH\perp AB$ và $AB=2\sqrt{R^2-I{H}^2}$. Diện tích $S_{\Delta IAB}=IH\cdot \sqrt{R^2-I{H}^2}$ lớn nhất khi $I{H}^2=R^2/2=12,5$, tức $IH=\frac{5}{\sqrt{2}}$ (thỏa $IH\le IM=\sqrt{13}$). Khi đó $H$ vừa thuộc đường tròn đường kính $IM$: $(x+0,5{)}^2+(y-4{)}^2=\frac{13}{4}$, vừa có $I{H}^2=12,5$: $(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=12,5$. Trừ hai phương trình được $3x-2y=-3,5$, thay vào tìm được $13x^2-23x+8,25=0$ với $x=\frac{33}{26}$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Với $x=\frac{1}{2}$ thì $y=2,5$, $T=3<4$ (loại). Với $x=\frac{33}{26}$ thì $y=\frac{95}{26}$, nên $T=a+b=\frac{128}{26}=\frac{64}{13}\approx 4,92$.