Trên một đường tròn có 10 điểm phân biệt. Bạn Dương chọn ngẫu nhiên hai trong số 10 điểm và nối chúng bằng một đoạn thẳng; sau đó tiếp tục chọn ngẫu nhiên hai điểm trong số các điểm chưa được chọn và nối chúng lại. Quá trình được thực hiện cho đến khi cả 10 điểm đều đã được ghép thành 5 cặp. Gọi P là xác suất để không có hai trong số 5 đoạn thẳng thu được cắt nhau. Tính 90000P.
Trên một đường tròn có 10 điểm phân biệt. Bạn Dương chọn ngẫu nhiên hai trong số 10 điểm và nối chúng bằng một đoạn thẳng; sau đó tiếp tục chọn ngẫu nhiên hai điểm trong số các điểm chưa được chọn và nối chúng lại. Quá trình được thực hiện cho đến khi cả 10 điểm đều đã được ghép thành 5 cặp. Gọi P là xác suất để không có hai trong số 5 đoạn thẳng thu được cắt nhau. Tính 90000P.
Đáp án chính thức: 4000
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Quá trình ghép cặp ngẫu nhiên tạo ra một ghép cặp hoàn chỉnh (perfect matching) của 10 điểm, và mọi ghép cặp đều có xác suất như nhau. Tổng số cách ghép 10 điểm thành 5 cặp là 9!! = 9·7·5·3·1 = 945. Số cách ghép không cắt nhau của 2n điểm trên đường tròn là số Catalan C_n. Với n = 5: C_5 = 1/(6)·C(10,5) = 42. Vậy P = 42/945 = 2/45, do đó 90000P = 90000·2/45 = 4000.
Quá trình ghép cặp ngẫu nhiên tạo ra một ghép cặp hoàn chỉnh (perfect matching) của 10 điểm, và mọi ghép cặp đều có xác suất như nhau. Tổng số cách ghép 10 điểm thành 5 cặp là 9!! = 9·7·5·3·1 = 945. Số cách ghép không cắt nhau của 2n điểm trên đường tròn là số Catalan C_n. Với n = 5: C_5 = 1/(6)·C(10,5) = 42. Vậy P = 42/945 = 2/45, do đó 90000P = 90000·2/45 = 4000.