Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có điểm $A(1;5)$. Gọi $K,M$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên $AC$ và trung điểm của $AB$. Biết phương trình đường thẳng $BK:5x-6y+11=0$ và $CM:\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=1-2t\end{array},(t\in \mathbb{R})$.

a) (0,5 điểm) Viết phương trình đường thẳng $AC$.

b) (0,5 điểm) Tìm tọa độ điểm $B$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AC$ nên $BK\perp AC$, do đó $AC$ nhận vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của $BK$. Đường thẳng $BK:5x-6y+11=0$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{BK}=(6;5)$, vậy ${\vec{n}}_{AC}=(6;5)$. Đường thẳng $AC$ đi qua $A(1;5)$ nên có phương trình: $6(x-1)+5(y-5)=0\iff 6x+5y-31=0$.

b) Gọi $B(a;b)$. Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a+1}{2};\frac{b+5}{2}\right)$. Vì $M\in CM$ nên tồn tại $t$: $\frac{a+1}{2}=3+3t$, $\frac{b+5}{2}=1-2t$, suy ra $a=5+6t$, $b=-3-4t$. Lại vì $B\in BK$: $5(5+6t)-6(-3-4t)+11=0\iff 54+54t=0\iff t=-1$. Khi đó $B(-1;1)$. Kiểm tra: $M(0;3)$ thuộc $CM$ (với $t=-1$) và $5(-1)-6(1)+11=0$ đúng.