Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(3;1;1)$ và hai mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$, $(Q):-x+2y-2z+1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(1;-2;2)$, $(Q)$ có VTPT ${\vec{n}}_Q=(-1;2;-2)=-{\vec{n}}_P$, và hằng số khác nhau ($-3\ne 1$), nên hai mặt phẳng song song, phân biệt. Đúng.

b) Thay $A(3;1;1)$ vào $(P)$: $3-2(1)+2(1)-3=0$. Vậy $A\in (P)$. Đúng.

c) $d(A,(Q))=\frac{|-3+2(1)-2(1)+1|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-2|}{3}=\frac{2}{3}\ne 2$. Sai.

d) Điểm $B$ trên $(Q)$ gần $A$ nhất là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(Q)$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $(Q)$: $x=3-t,y=1+2t,z=1-2t$. Thay vào $(Q)$: $-(3-t)+2(1+2t)-2(1-2t)+1=9t-2=0\Rightarrow t=\frac{2}{9}$. Suy ra $B=\left(\frac{25}{9};\frac{13}{9};\frac{5}{9}\right)$, khi đó $x_0+y_0+z_0=\frac{43}{9}\ne 43$. Sai.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\vec{n}}_Q=(-1;2;-2)=-{\vec{n}}_P$ và hai mặt phẳng phân biệt (hằng số khác nhau), nên $(P)\parallel (Q)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay $A(3;1;1)$ vào $(P)$: $3-2+2-3=0$, nên $A\in (P)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(A,(Q))=\frac{|-3+2-2+1|}{3}=\frac{2}{3}\ne 2$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hình chiếu của $A$ lên $(Q)$: đường thẳng $x=3-t,y=1+2t,z=1-2t$; thay vào $(Q)$ được $9t-2=0\Rightarrow t=\frac{2}{9}$, nên $B=\left(\frac{25}{9};\frac{13}{9};\frac{5}{9}\right)$ và $x_0+y_0+z_0=\frac{43}{9}\ne 43$. Sai.